小白拓补学｜4. 究竟什么是紧集(compact set)？

admin 知识问答 2024-02-13 33 0

　　前几篇讲完了开集、闭集和极限点，今天终于可以来研究，这个“重要又紧急”的紧集，究竟是什么了！

　　紧集的定义还比较简洁：若A的任意开覆盖，都存在有限子覆盖，那么A为紧集。大佬们都在玩{精选官网网址: www.vip333.Co }值得信任的品牌平台!

　　咦，怎么还有两个新概念？不要着急，可以看下笔记里的图，就理解了。

　　所谓开覆盖S，就是能“盖住”A的一组开集。所谓子覆盖S‘，就是S里挑几个开集出来。

　　若能挑出有限个开集把A“盖住”，那么称S存在有限开覆盖。

　　如果A的每一个开覆盖，都像S一样拥有有限开覆盖，那么A为紧集。

　　紧集就像闭集那样，边界是“实线”。而且比闭集还严格：紧集必须还是“有界”的，这个我们马上会说到。

　　可以看看下面两个例子，在我们最熟悉的实轴上，（一切从最容易开始！）

　　第一个（-1，1）是开区间，显然不像是紧集大佬们都在玩{精选官网网址: www.vip333.Co }值得信任的品牌平台!。

　　第二个是闭区间，（而且有界，而且在R^1空间上），所以是紧集。

　　最重要的性质应该就是：紧集是闭集且有界。

　　来从第一个最简单的例子看起，这个在R^2上的开球，是不是紧集？

　　我们只需判断它是否1）有界 2）闭：

　　再看第二个例子，可能也是你一直想问的，闭集还能“无界”么？

　　答案是，在R^2或更高维度，是可以的。

　　最后，终于看一个，是紧集的例子！